다항식 근 계산기 (3차·4차 이상)

다항식을 쓰던 대로 입력하거나(x^3 - 6x^2 + 11x - 6, (x-1)^2(x+3), 3(x+0.5)^2 - 12) 최고차부터 계수 목록으로 입력하면, 30차까지 모든 실근과 복소근을 찾습니다. 근의 공식 너머로 3차·4차에는 닫힌 형식이 있지만 번거롭고 수치적으로 불안정하며, 5차부터는 아예 없습니다(아벨–루피니 정리). 그래서 이 도구는 Aberth–Ehrlich 방법을 씁니다. 원 위의 시작점들에서 모든 근을 함께 다듬어, 어느 근도 마지막 자리 몇 단위 이상 움직이지 않을 때까지 반복합니다. 각 근은 잔차와 함께 나옵니다. 잔차는 항들의 크기에 대한 |p(z)|의 비율로, 10⁻¹⁶ 근처면 배정밀도가 허락하는 만큼 정확하다는 뜻입니다. 다항식은 실수 범위에서 인수분해한 형태로 다시 쓰며, 켤레 복소근 쌍마다 이차 인수가 됩니다. 근의 합과 곱을 계수와 비교하는 비에트 검사도 추가로 보여 줍니다. 중근은 주의가 필요합니다. 부동소수점에서 이중근은 약 10⁻⁸, 삼중근은 약 10⁻⁵ 정도로밖에 위치를 정할 수 없는데, 그 근처에서 다항식이 평평하기 때문입니다. 도구는 그 정확도 안에서 겹치는 근들을 알아보고 중복도와 함께 한 번만 보고하며, 그 값을 (m − 1)차 도함수의 단순근으로 다듬어 거의 완전한 정밀도를 되찾습니다. 어떤 다항식은 본질적으로 조건이 나쁩니다. 유명한 윌킨슨 예제, 즉 k = 1~20에 대한 (x − k)의 곱은 x¹⁹의 계수 −210을 2⁻²³(약 20억분의 1)만큼만 바꿔도 실근 10개가 복소근 5쌍이 되며, 허수부가 3 가까이 되는 것도 있습니다. 계수는 실수이며 복소 계수는 지원하지 않습니다.