조합과 순열 계산기 (nCr, nPr)

같은 두 숫자에서 나오는 네 가지 경우의 수 질문입니다. 조합은 순서가 상관없는 선택을 세고, 순열은 순서가 상관있는 배열을 세며, 각각에는 같은 항목을 여러 번 고를 수 있는 중복 변형이 있습니다. n과 r을 넣으면 네 답이 한꺼번에 나옵니다. 내 문제가 넷 중 어느 것인지 미리 정하고 들어가는 것보다 대개 빠릅니다. 순서를 따지는 쪽이 r!배만큼 크다는 사실을 눈으로 보는 것만으로 질문이 정리되는 경우가 많기 때문입니다.

차이를 가장 쉽게 체감할 수 있는 예는 카드 한 벌입니다. 52장에서 5장을 고르는 경우의 수는 2,598,960가지입니다. 패는 집합이고 어떤 순서로 받았는지는 무관하기 때문입니다. 52장을 이름 붙은 다섯 자리에 나누어 놓는 경우의 수는 311,875,200가지로, 정확히 120배 많습니다. 120은 5!, 즉 같은 패 하나를 늘어놓는 순서의 가짓수입니다. 49개 중 6개를 뽑는 복권은 같은 계산으로 13,983,816가지이고, 이것이 복권 뒷면에 적힌 확률을 정직하게 읽는 방법입니다.

계산은 부동소수점이 아니라 임의 정밀도 정수로 이뤄지는데, 이것은 사소한 차이가 아닙니다. 자바스크립트의 숫자는 2의 53승까지만 정수를 정확히 담을 수 있고, 팩토리얼은 19!에서 그 선을 넘습니다. 그 뒤 몇 개는 우연히 정확하게 저장되지만, 23!부터는 반올림된 값입니다. 배정도 실수로 계산하는 계산기는 거기서부터 틀린 자릿수를 내놓기 시작해, 오류를 내기 한참 전부터 눈에 띄게 어긋나다가, 배정도로 표현 가능한 마지막 팩토리얼인 170!을 넘으면 완전히 포기합니다. 여기서는 C(100, 50)이 서른 자리 전체, 100891344545564193334812497256으로, 모든 자리가 정확하게 나옵니다.

이 도구가 해 줄 수 없는 일은 내 문제에 어느 모형이 맞는지 정하는 것이고, 경우의 수 계산이 틀리는 지점은 산수보다 바로 여기입니다. 고른 항목 두 개를 서로 바꿨을 때 정말로 다른 결과가 되는지 물어보세요. 그렇다면 순열입니다. 그리고 같은 항목이 두 번 나올 수 있는지도 물어보세요. 비복원추출과 복원추출의 차이가 그것입니다. "각각 최소 하나씩", "인접한 둘은 안 됨" 같은 제약이 붙은 문제는 애초에 이항계수 하나로 풀리지 않습니다. 포함배제나 점화식이 필요하고, 그런 문제를 n과 r에 밀어 넣으면 권위 있어 보이지만 질문에 대한 답은 아닌 숫자가 나옵니다.