행렬 계산기 (정확한 분수)

스프레드시트는 이진 부동소수점으로 소거하며, 나눗셈마다 반올림이 생기고 그 오차가 완전히 상쇄되지 않습니다. 행들이 종속인 행렬의 행렬식은 정확히 0이고, 정확한 유리수 연산은 그 값을 그대로 지킵니다. 부동소수점이 내놓는 아주 작은 0 아닌 행렬식은 대개 특이하다는 뜻이지만 숫자 자체는 그렇다고 말해 주지 않습니다. 여기서는 모호함이 없습니다.

네. 정수, 2.5e-3처럼 지수가 붙은 소수, -7/12 같은 분수를 모두 정확한 유리수로 읽습니다. 소수는 적힌 그대로 받아들이므로 0.1은 정확히 10분의 1입니다. 결과는 분수로 보거나, 소수로 보기를 켜서 유효숫자 10자리로 반올림해 볼 수 있습니다.

기약 행사다리꼴은 행렬마다 유일합니다. 0이 아닌 행들은 행공간의 깔끔한 기저이고, 그 개수가 계수입니다. 선행 1이 있는 열이 피벗 열이며, 원래 행렬에서 서로 독립인 열 묶음을 알려 줍니다. 여기서 역행렬과 A x = b의 해를 구하는 방법이기도 합니다.

자유 변수를 모두 0으로 둔 특수해 하나와, 자유 변수마다 영공간 벡터 하나를 보여 줍니다. 모든 해는 특수해에 그 벡터들의 어떤 결합을 더한 것입니다. A의 열 계수가 가득 차면 영공간이 없어 해가 유일하고, [A | b]의 계수가 A의 계수보다 크면 해가 없습니다.

정확한 분수는 커지기 때문입니다. 까다로운 행렬을 소거하면 분자와 분모가 수백 자리가 될 수 있고, 계산량도 함께 늘어납니다. 12 × 12면 수업 과제나 작은 모델, 수치 결과를 손으로 확인하는 데 충분하면서 모든 연산이 즉시 끝납니다. 큰 수치 문제에는 부동소수점이 맞는 도구이고, 이 도구는 그 작은 사례를 검산하는 용도입니다.