线性回归计算器
日常
线性回归回答“x 增加 1 时，y 会变化多少？”这一日常问题。将 (x, y) 数据对按每行一组的方式粘贴（逗号、制表符、空格或分号分隔均可），本工具用最小二乘法拟合 y = mx + b 直线，返回斜率、截距、皮尔逊相关系数 r、决定系数 R²、斜率的标准误差，以及叠加拟合线的散点图，让你直观看到直线对数据的拟合程度。在预测框输入任意 x 即可立刻得到 ŷ。计算采用数值稳定的偏差平方和形式，而非朴素的 Σxy − (Σx)(Σy)/n，使得两轴均值相对方差较大时也能保持精度。所有处理均在浏览器内本地完成，不上传任何数据。
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最佳拟合直线
y = 1.9988 x + 0.0179
拟合直线
斜率 (m)
1.9988
截距 (b)
0.0179
斜率标准误差
0.0274
拟合强度
皮尔逊 r
0.9994
R²（决定系数）
0.9989
皮尔逊 r
+ 非常强
概要
数据对 (n)
8
x 均值
4.5
y 均值
9.0125
预测
预测 ŷ
20.006
尽量留在数据范围内——外推越远，可靠性下降越快。
散点图与拟合直线
皮尔逊 r 只测线性相关。曲线关系可能呈 r 近 0，但仍有关联——务必结合散点图判断，不要只看数字。
使用方法
- 每行粘贴一对数字——第一个为 x，第二个为 y。逗号、制表符、空格、分号都可作分隔符。
- 查看主公式 y = mx + b 与 R²，判断直线解释 y 变动的比例。
- 用皮尔逊 r 的符号判断方向（正：同向；负：反向），用绝对值（0–1）判断点对直线的紧密程度。
- 在预测框输入任意 x 即得 ŷ——可向数据范围外推一小步，不要外推过远。
常见问题
- r 与 R² 的区别？
- 皮尔逊 r 取值 −1 到 +1，表示线性关系的方向与强度。R² 为 r 的平方，介于 0–1，是 y 变动中被回归线解释的比例。r = −0.9 与 r = +0.9 都对应 R² = 0.81（解释 81% 方差），但方向相反。
- 相关等于因果吗？
- 不等于。良好拟合只表示样本中 y 随 x 变动，并不意味着 x 导致 y。经典例：冰淇淋销量与鲨鱼袭击相关（夏季都增加），但冰淇淋并不导致袭击。回归用于描述关系，不证明因果。
- 线性回归何时不适用？
- 关系呈曲线（应改用多项式拟合）、少数极端点拉偏直线（散点图中检查异常值）、方差随 x 增大（异方差），或 y 之间不独立。R² 高但散点明显弯曲时需选其他模型。
- 斜率标准误差表示什么？
- 由直线周围残差估计的 m 的不确定性。95% 置信区间近似为 m ± 2 × SE(m)。若该区间跨越 0，则不能自信地断言 x 与 y 相关——数据与“无关系”同样兼容。
- 需要多大样本？
- 两点可得 R² = 1 的精确直线，但谈不上可靠性。可用的 R² 与标准误差至少需要 3 点，可靠的斜率估计至少 10 点，进行推断（p 值、置信区间）建议 20–30 点以上。