콜라츠 추측 (3n+1) 수열

콜라츠 추측은 3n+1 문제 또는 우박수열이라고도 불리며, 양의 정수에 아이도 따라 할 수 있는 규칙을 적용합니다. 짝수면 반으로 나누고, 홀수면 세 배 한 뒤 1을 더합니다. 그리고 반복합니다. 지금까지 누군가 시도해 본 모든 수는 결국 1에 도달했습니다. 그런데 모든 수가 그렇다는 것을 아무도 증명하지 못했습니다. 시작값을 입력하면 이 도구가 전체 궤적을 나열하고, 1까지의 단계 수를 세고, 도중에 도달한 최고값을 알려 줍니다.

"우박"이라는 이름은 그 궤적의 모양에서 왔습니다. 수는 폭풍우 구름 속에서 위아래로 실려 다니는 우박처럼 예측 불가능하게 오르내리다가 마침내 떨어집니다. 27에서 시작하는 것이 표준적인 시연입니다. 작고 평범해 보이는 수인데 111단계를 거치고 내려오기 전에 9,232까지 올라갑니다. 이웃한 시작값들이 완전히 다른 답을 내놓고, 단계 수든 최고점이든 수열을 실제로 돌려 보지 않고 예측하는 방법은 알려져 있지 않습니다.

이 추측은 대략 2.95 × 10^20, 즉 2의 68제곱까지의 모든 시작값에 대해 컴퓨터로 검증되었고, 그것은 그 너머의 수들에 대해서는 아무것도 증명하지 못합니다. 증거와 증명 사이의 간극이 가장 순수한 형태로 드러난 사례이며, 도전한 모든 사람을 물리쳤습니다. 에르되시는 이런 문제를 다루기에는 수학이 아직 무르익지 않았다고 말하면서, 지급할 일이 없으리라 여긴 상금을 걸었습니다. 현대의 가장 강력한 결과는 2019년 테렌스 타오의 것으로, 거의 모든 시작값이 결국 거의 유계인 수에 도달한다는 내용입니다. 진짜 진전이지만 추측은 여전히 미해결로 남습니다.

값은 임의 정밀도 정수로 처리되므로 최고점이 반올림이 아니라 정확한 값입니다. 이것은 들리는 것보다 중요합니다. 궤적의 최고점은 시작점보다 엄청나게 커질 수 있고, 부동소수점으로 계산하는 계산기는 표현 범위를 다 쓰기 훨씬 전부터 조용히 자릿수를 망가뜨리기 시작합니다. 871에서 시작하면 178단계를 거쳐 190,996에 이르고, 평범해 보이는 시작값 중에도 배정도 실수가 정확히 담을 수 있는 범위를 최고점이 넘어서는 것들이 있습니다. 모든 계산은 브라우저에서 이뤄집니다.